Mathematica 9 y el comando DSolve Parte I - Las nuevas tecnologías en favor de la educación

Mathematica ha existido desde 1988 sin embargo su popularidad ha ido en incremento debido a que las universidades y centros de enseñanza la han adoptado como un medio para mejorar la enseñanza además de motivar a los alumnos a desarrollas sus propias aplicaciones que los ayuden a mejorar su desempeño en clases.

Por más de 20 años, profesores y personal académico de todo el mundo han usado Mathematica para todo, desde la enseñanza de simples conceptos en el aula a investigación de avanzada usando varios de los clústeres más grandes del mundo. Mathematica continúa ofreciendo a los profesores lecciones interactivas para hacer participar a los alumnos, profundizando su comprensión y preparándolos para el futuro en una gran variedad de áreas de estudio. Los investigadores universitarios pueden utiliza Mathematica para analizar datos rápidamente y con precisión, contrastar hipótesis y documentar resultados. Y dado que Mathematica entrega más funcionalidades, ocupando el lugar de varias clases de programas especializados, las universidades pueden utilizar Mathematica a un costo más bajo en todas sus instalaciones.

En el caso de las ecuaciones diferenciales Mathematica incorpora un comando muy poderoso, el comando DSolve, se asume que a estas alturas el alumno debe tener un conocimiento básico de como utilizar el software Mathematica.

El comando DSolve encuentra soluciones simbólicas a ecuaciones diferenciales. El comando DSolve solo puede aceptar los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales:

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, en las cuales solo hay una variable independiente y una o mas variables dependientes. DSolve esta equipado con una gran variedad de técnicas, para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o un sistema de estas.
• Ecuaciones Diferenciales Parciales, en las cuales hay dos o mas variables independientes y una variable dependiente. Encontrar una solucion exacta simbólica a este tipo de ecuaciones es muy difícil, sin embargo DSolve puede resolver la mayoría de las Ecuaciones Diferenciales Parciales de primer orden y un número limitado de Ecuaciones Diferenciales Parciales de segundo orden.
• Ecuaciones diferenciales algebraicas, en las que algunos miembros son ecuaciones diferenciales y los demás son puramente algebraicos. De igual forma que con las Ecuaciones Diferenciales Parciales, es muy difícil encontrar soluciones exactas a este tipo de ecuaciones diferenciales, sin embargo DSolve puede resolver muchos ejemplos de tales sistemas que ocurren en aplicaciones.

La sintaxis del comando DSolve es la siguiente:

• \( DSolve \left[ eqn, y\left[x\right], x \right] \)         Resuelve una ecuación diferencial para \( y\left[x\right]  \).
• \( DSolve \left[ \left\{ eqn1, eqn2, \ldots \right\}, \left\{ y1\left[x\right], y2\left[x\right], \ldots \right\}, x \right] \)         Resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales para \( yi\left[x\right] \)

El comando DSolve regresa una lista de posibles soluciones lo cual es útil cuando existen múltiples soluciones para una ecuación. Cunado se trata de un sistema de ecuaciones regresa una lista de soluciones correspondientes a cada variable dependiente, en algunos casos estas pueden estar agrupadas.

Para ejemplificar el uso de el comando DSolve realizaremos dos ejemplos e iremos explicando cada paso detenidamente:

Ejemplo.- Encontrar una solución general para la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

\[ y'=y \]

Para ello debemos ingresar en Mathematica lo siguiente:

Debemos recordar que la ecuación \( y'=y \) se debe ingresar en Mathematica con un doble "=", el comando guardará en sol, el arreglo de soluciones para esta función, como puede verse solo tiene una solución general, la cual en realidad es una familia de funciones ya que existe una constante arbitraria \( C_{1} \) , para observar las curvas de integrales que componen esta familia de funciones utilizaremos el comando Table.

La sintaxis del comando Table es el siguiente:

• \( Table \left[ expr, \letf\{ i, i_{max} \right\} \rignt]

Entonces ingresamos lo siguiente:

Lo que significa que evaluaremos una función y[x] en la que meteremos el primer elemento contenido en sol (la solución de la ecuación diferencial) y a su vez le indicamos que el elemento a evaluar sera C[1] por lo cual a C[1] lo hacemos una variable k, la cual irá desde -10 a 10 en incrementos de 2. El resultado como puede verse es un arreglo de 11 funciones donde ya se ha evaluado el valor de la constante arbitraria C[1]. 

Para mostrar estas funciones utilizaremos el comando Plot pero antes deberemos evaluar la variable x dentro de cada  una de las 11 funciones por lo que a su vez utilizaremos el comando Evaluate, la sintaxis del comando Plot es la siguiente:

• \( Plot \left[ \left\{ f_{1}, f_{2}, \ldots \right\}, \left\{ x, x_{min}, x_{max} \right\} \right] \)

Donde el conjunto de funciones \( \left\{ f_{1}, f_{2}, \ldots \right\} \) será el resultado de la ejecución del comando Evaluate, posteriormente se coloca la variable a evaluar y el rango en el cual será evaluada en esta caso le hemos colocado de -5 a 5, finalmente para que la gráfica se despliegue en toda la pantalla agregamos ImageSize -> Full.

El resultado de colocar ejecutar esta linea es una gráfica como la que se muestra a continuación, la cual contiene un conjunto finito de curvas integrales.

Pero que sucede si conocemos una condición inicial, entonces encontraremos una ecuación particular que satisfaga la ecuación diferencial, por ejemplo si \( y \left[ 0  \right] = 0 \) los comandos cambian ligeramente. En específico en DSolve debemos agregar la condición inicial. Esto es:

Como se puede ver el resultado del comando DSolve es una función específica que satisface el sistema de ecuaciones planteado. Para mostrarlo simplemente evaluamos una función y[x] a la cual le meteremos el primer elemento del arreglo sol, el cual es la solución de la ecuación diferencial, y la variable a evaluar sera x la cual estará en un rango de -2 a 3, el resultado de esto es la siguiente gráfica.

Ecuaciones de Variables Separables - Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se puede escribir de la forma:

\[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.1) \]

Existen ecuaciones diferenciales de esta forma que son muy simples, sin embargo es importante recordarlas debido a que servirán para una mejor comprehensión de los temas que se presentarán más adelante y como introducción al tema que se tratará en esta entrada, para ello puedes ver el siguiente video de KhanAcademy donde se explica la solución de tres ecuaciones diferenciales simples.

La primera ecuación diferencial del video es:

\[ \dfrac {dy} {dx} = x^{2}+1 \]

La solución a esta ecuación diferencial es:

\[ \int dy = \int (x^{2}+1)dx \]

Lo que es igual a:

\[ y = \dfrac {x^{3}} {3} + x + C \]

Las curvas integrales de esta ecuación diferencial se pueden ver en la siguiente gráfica, evaluado C de -100 a 100 con incrementos de 20.

Ecuaciones de variables separables

Definición 2.1 Si M de la ecuación (2.1) es una función de x únicamente y N de y, entonces la ecuación (2.1) toma la forma:

\[ M(x)dx+N(y)dy=0 \]

La cual se llama ecuación de variables separables.

Método de solución.

Dada la ecuación diferencial: \[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \]

Mediante pasos algebraicos debemos llegar a una ecuación diferencial de la forma:

\[ P(x)dx+Q(y)dy=0 \] y la solución es \[ \int P(x)dx+\int Q(y)dy=0 \]

Al aplicar el método de variables separables en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden debemos contestar en forma afirmativa la pregunta ¿somos capaces de juntar las x con dx y juntar las y con dy?, en caso contrario debemos intentar resolver la ecuación diferencial por otro método.

Para reforzar estos conceptos y encontrar algunos ejemplos resueltos podemos ver los dos videos correspondientes a ecuaciones de variables separables de KhanAcademy

MathJax - Las nuevas tecnologías en favor de la educación

MathJax es un motor JavaScript de código abierto que nos permite desplegar expresiones matemáticas en un sitio web, escribiendo la misma en notación TeX, LaTeX o en código MathML.

Anteriormente para colocar una ecuación dentro de un sitio web era increíblemente complicado, la forma más sencilla era generar la expresión mediante algún software, exportarla como imagen y subirla a la web para después insertarla en el sitio donde queríamos mostrarla, en este mismo sitio un ejemplo pueden ser todas las ecuaciones de esta entrada, las cuales fueron extraídas de un documento Microsoft Word y preparadas en Microsoft Paint y luego subidas al blog.

Sin embargo mediante el uso de MathJax, se reduce a escribir la expresión en alguno de los lenguajes antes mencionados, reduciendo notablemente el trabajo necesario, además si no se conoce el lenguaje LaTex o MathML, es un buen comienzo para aprender a utilizarlo.

En el caso muy especifico de las ecuaciones diferenciales por ejemplo, escribir y'''+2e^{x}y''+x^2{y}'=x^{4}, se traduce a:

\[ y'''+2e^{x}y''+x^{2}y'=x^{4} \]

Para poder hacer uso de esta herramienta es necesario instalarla primero en nuestro sitio web, existen muchas formas de hacerlo dependiendo de la plataforma sobre la cual estemos trabajando, en esta liga pueden encontrar las instrucciones para las plataformas más comunes, aquí explicaremos de forma breve el proceso de instalación para blogger.

El primer paso es ir a la dashboard de blogger, y en ella ir a Plantilla->Editar HTML, dar clic para ver más grandes las imágenes.

Una vez en la edición HTML de nuestra plantilla debemos buscar el tag </head> y justo encima de este pegar el siguiente código, como se muestra en la imagen (dar clic sobre la imagen para ver más grande):

<script src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"></script>

Una vez colocando esto damos clic en Guardar Plantilla, y listo.

Para poder integrar expresiones matemáticas a nuestras entradas bastará simplemente con colocar la expresión en lenguaje TeX, LaTeX o MathML entre unos identificadores, para que la expresión se muestre en linea con el texto debe colocarse entre \ (...\ ) y para que se muestre en una nueva linea y centrada en la pantalla debe colocarse entre \ [...\ ] (sin el espacio entre \ y ( o [ ) donde los tres puntos son nuestra expresión.

Regresando a nuestro ejemplo anterior tenemos que la expresión y'''+2e^{x}y''+x^2{y}'=x^{4} entre \ (...\ ) se traduce a \(y'''+2e^{x}y''+x^2{y}'=x^{4}\) y entre \ [...\ ] se traduce a:

\[ y'''+2e^{x}y''+x^{2}y'=x^{4} \]

Como conclusión esta herramienta resulta muy útil si se conoce alguno de los lenguajes previamente mencionados, sin embargo si no se tiene idea de como escribir una expresión podemos hacer uso de la herramienta en linea WebEquation en la cual podemos escribir directamente la ecuación mediante el mouse o algun otro dispositivo de entrada, y como resultado obtener la ecuación en lenguaje LaTeX o MathML como se muestra en la imagen.

Prezi - Las nuevas tecnologías en favor de la educación

En la vida escolar todos estamos acostumbrados a el uso de diapositivas o presentaciones para exponer temas, con la idea de que al hacer atractivo y más resumido el tema, sea más fácil que se recuerden las ideas que se pretenden aprender, dentro de los ambientes de presentación encontramos el clásico ejemplo de Microsoft PowerPoint o su contraparte de software libre LibreOffice Impress, sin embargo nos encontramos en una era de la tecnología donde podemos acceder a herramientas en linea para (sin la necesidad de instalar ningún programa en nuestro ordenador) desarrollar este tipo de presentaciones, inclusive desde dispositivos móviles.

Estas tecnologías sin embargo no se han quedado estancadas y han evolucionado hacia un concepto que esta tomando auge y es el de "compartir", esto puede interpretarse por ejemplo, en nuestro programa de ordenador debíamos empezar desde cero e imaginar las transiciones y efectos que debía tener nuestra presentación, ahora mediante estos sitios web como SlideRocket o Prezi, no solo podemos crear una idea desde cero, sino que podemos buscar y encontrar que alguien más ya ha desarrollado una presentación para nuestro tema en específico y rehusar su presentación, adaptarla a nuestras necesidades o bien mejorarla. Sin embargo lo más importante es que podemos compartirla con casi todo el mundo (requieren una conexión a internet) enviarla por correo, insertarla en blogs, wikis, redes sociales y un largo etcetera.

En esta entrada nos enfocaremos a presentar Prezi, y nada mejor que un video que nos explique básicamente que es Prezi y para que nos sirve.

Como pudimos ver Prezi es un sistema muy dinámico que nos permite organizar y compartir ideas de una forma menos aburrida y que a la vez engancha a las personas y facilita que las ideas o conocimientos sean mucho más fáciles de recordar, en el caso concreto de las ecuaciones diferenciales, existe un basto repertorio de presentaciones en linea, a continuación insertamos una pequeña presentación sobre que son las ecuaciones diferenciales. Más adelante describiremos el otro sitio web SlideRocket y analizaremos los pros y contras de ambos sistemas.  

Notas - Tema I

Como parte del complemento a la primera parte de la introducción a las ecuaciones diferenciales les dejo el enlace a la primer tema de las notas del curso de ecuaciones difereniciales, estas notas contienen además de los conceptos ya vistos una serie de ejercicios resueltos, así como una serie de ejercicios propuestos para que sean desarrollados por ustedes. Los resultados pueden verificarse mediante el uso del sitio web de Wolfram|Alpha, más adelante incluiremos un tutorial sobre el uso de esta grandiosa herrmamienta. Para descargar las notas dar clic en la imagen o dar clic aquí.

Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Orden, solución y grado de una ecuación diferencial ordinaria

Definición 1.1 Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial.

Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

Una ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente es llamada ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial.

Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

Orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria. 

Definición 1.2 El orden de una ecuación diferencial es igual al orden de la más alta derivada de las variables dependientes que aparecen en la ecuación. 

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico o exponente de la derivada de más alto orden de la ecuación. Ejemplo. Determina el orden y grado de las ecuaciones diferenciales.

Solución de una ecuación diferencial 

Definición 1.3 Una solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden n, sobre el intervalo de definición de la ecuación, es una función que posee por lo menos n derivadas en dicho intervalo y satisface la ecuación.

Ejemplo. Verificar que

es solución en todos los números reales de:

La función está definida en todos los reales y tiene derivada en todos los reales. Derivamos a y con respecto a x, se tiene:

Sustituimos en la ecuación diferencial, obtenemos:

Como se tiene la identidad, entonces si es solución.

Interpretación geométrica: curvas integrales. 

Definición 1.4 La gráfica de una solución de una ecuación diferencial ordinaria se llama curva solución o curva integral.

Condiciones iniciales y a la frontera (interpretación geométrica física)

Definición 1.5 Para una ecuación diferencial ordinaria de orden n de la forma:

\[ y^{(n)}=f[x, y, y', \ldots, y^{(n-1)}] (1.1)\]

Son comunes condiciones del tipo \( y\left( x_{0} \right) = k_{0}, y'\left( x_{0} \right) = k_{1}, \ldots,y^{(n-1)}\left( x_{0} \right) = k_{n-1} (1.2) \) donde los \( k_{i} \) son números reales y \( x_{0} \) es un punto del intervalo donde está definida la ecuación. Al conjunto de condiciones de la forma (1.2), para la ecuación (1.1) se llama condiciones iniciales. La ecuación (1.1) y las condiciones iniciales constituyen un problema con valores iniciales.

Condiciones a la frontera 

Cuando las condiciones no son dadas en un mismo punto \( x_{0} \), las condiciones se llaman condiciones a la frontera.

Como ultimo para reafirmar estos conceptos puedes revisar el video que se muestra a continuación, este es parte de un curso completo de ecuaciones diferenciales que se puede consultar en la página oficial de KhanAcademy.