Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Orden, solución y grado de una ecuación diferencial ordinaria

Definición 1.1 Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial.

Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

Una ecuación que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente es llamada ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial.

Ejemplo. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

Orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria. 

Definición 1.2 El orden de una ecuación diferencial es igual al orden de la más alta derivada de las variables dependientes que aparecen en la ecuación. 

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico o exponente de la derivada de más alto orden de la ecuación. Ejemplo. Determina el orden y grado de las ecuaciones diferenciales.

Solución de una ecuación diferencial 

Definición 1.3 Una solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden n, sobre el intervalo de definición de la ecuación, es una función que posee por lo menos n derivadas en dicho intervalo y satisface la ecuación.

Ejemplo. Verificar que

es solución en todos los números reales de:

La función está definida en todos los reales y tiene derivada en todos los reales. Derivamos a y con respecto a x, se tiene:

Sustituimos en la ecuación diferencial, obtenemos:

Como se tiene la identidad, entonces si es solución.

Interpretación geométrica: curvas integrales. 

Definición 1.4 La gráfica de una solución de una ecuación diferencial ordinaria se llama curva solución o curva integral.

Condiciones iniciales y a la frontera (interpretación geométrica física)

Definición 1.5 Para una ecuación diferencial ordinaria de orden n de la forma:

\[ y^{(n)}=f[x, y, y', \ldots, y^{(n-1)}] (1.1)\]

Son comunes condiciones del tipo \( y\left( x_{0} \right) = k_{0}, y'\left( x_{0} \right) = k_{1}, \ldots,y^{(n-1)}\left( x_{0} \right) = k_{n-1} (1.2) \) donde los \( k_{i} \) son números reales y \( x_{0} \) es un punto del intervalo donde está definida la ecuación. Al conjunto de condiciones de la forma (1.2), para la ecuación (1.1) se llama condiciones iniciales. La ecuación (1.1) y las condiciones iniciales constituyen un problema con valores iniciales.

Condiciones a la frontera 

Cuando las condiciones no son dadas en un mismo punto \( x_{0} \), las condiciones se llaman condiciones a la frontera.

Como ultimo para reafirmar estos conceptos puedes revisar el video que se muestra a continuación, este es parte de un curso completo de ecuaciones diferenciales que se puede consultar en la página oficial de KhanAcademy.