Ecuaciones de Variables Separables - Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se puede escribir de la forma:

\[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.1) \]

Existen ecuaciones diferenciales de esta forma que son muy simples, sin embargo es importante recordarlas debido a que servirán para una mejor comprehensión de los temas que se presentarán más adelante y como introducción al tema que se tratará en esta entrada, para ello puedes ver el siguiente video de KhanAcademy donde se explica la solución de tres ecuaciones diferenciales simples.

La primera ecuación diferencial del video es:

\[ \dfrac {dy} {dx} = x^{2}+1 \]

La solución a esta ecuación diferencial es:

\[ \int dy = \int (x^{2}+1)dx \]

Lo que es igual a:

\[ y = \dfrac {x^{3}} {3} + x + C \]

Las curvas integrales de esta ecuación diferencial se pueden ver en la siguiente gráfica, evaluado C de -100 a 100 con incrementos de 20.

Ecuaciones de variables separables

Definición 2.1 Si M de la ecuación (2.1) es una función de x únicamente y N de y, entonces la ecuación (2.1) toma la forma:

\[ M(x)dx+N(y)dy=0 \]

La cual se llama ecuación de variables separables.

Método de solución.

Dada la ecuación diferencial: \[ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \]

Mediante pasos algebraicos debemos llegar a una ecuación diferencial de la forma:

\[ P(x)dx+Q(y)dy=0 \] y la solución es \[ \int P(x)dx+\int Q(y)dy=0 \]

Al aplicar el método de variables separables en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden debemos contestar en forma afirmativa la pregunta ¿somos capaces de juntar las x con dx y juntar las y con dy?, en caso contrario debemos intentar resolver la ecuación diferencial por otro método.

Para reforzar estos conceptos y encontrar algunos ejemplos resueltos podemos ver los dos videos correspondientes a ecuaciones de variables separables de KhanAcademy