Mathematica 9 y el comando DSolve Parte I - Las nuevas tecnologías en favor de la educación

Mathematica ha existido desde 1988 sin embargo su popularidad ha ido en incremento debido a que las universidades y centros de enseñanza la han adoptado como un medio para mejorar la enseñanza además de motivar a los alumnos a desarrollas sus propias aplicaciones que los ayuden a mejorar su desempeño en clases.

Por más de 20 años, profesores y personal académico de todo el mundo han usado Mathematica para todo, desde la enseñanza de simples conceptos en el aula a investigación de avanzada usando varios de los clústeres más grandes del mundo. Mathematica continúa ofreciendo a los profesores lecciones interactivas para hacer participar a los alumnos, profundizando su comprensión y preparándolos para el futuro en una gran variedad de áreas de estudio. Los investigadores universitarios pueden utiliza Mathematica para analizar datos rápidamente y con precisión, contrastar hipótesis y documentar resultados. Y dado que Mathematica entrega más funcionalidades, ocupando el lugar de varias clases de programas especializados, las universidades pueden utilizar Mathematica a un costo más bajo en todas sus instalaciones.

En el caso de las ecuaciones diferenciales Mathematica incorpora un comando muy poderoso, el comando DSolve, se asume que a estas alturas el alumno debe tener un conocimiento básico de como utilizar el software Mathematica.

El comando DSolve encuentra soluciones simbólicas a ecuaciones diferenciales. El comando DSolve solo puede aceptar los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales:

• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, en las cuales solo hay una variable independiente y una o mas variables dependientes. DSolve esta equipado con una gran variedad de técnicas, para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o un sistema de estas.
• Ecuaciones Diferenciales Parciales, en las cuales hay dos o mas variables independientes y una variable dependiente. Encontrar una solucion exacta simbólica a este tipo de ecuaciones es muy difícil, sin embargo DSolve puede resolver la mayoría de las Ecuaciones Diferenciales Parciales de primer orden y un número limitado de Ecuaciones Diferenciales Parciales de segundo orden.
• Ecuaciones diferenciales algebraicas, en las que algunos miembros son ecuaciones diferenciales y los demás son puramente algebraicos. De igual forma que con las Ecuaciones Diferenciales Parciales, es muy difícil encontrar soluciones exactas a este tipo de ecuaciones diferenciales, sin embargo DSolve puede resolver muchos ejemplos de tales sistemas que ocurren en aplicaciones.

La sintaxis del comando DSolve es la siguiente:

• \( DSolve \left[ eqn, y\left[x\right], x \right] \)         Resuelve una ecuación diferencial para \( y\left[x\right]  \).
• \( DSolve \left[ \left\{ eqn1, eqn2, \ldots \right\}, \left\{ y1\left[x\right], y2\left[x\right], \ldots \right\}, x \right] \)         Resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales para \( yi\left[x\right] \)

El comando DSolve regresa una lista de posibles soluciones lo cual es útil cuando existen múltiples soluciones para una ecuación. Cunado se trata de un sistema de ecuaciones regresa una lista de soluciones correspondientes a cada variable dependiente, en algunos casos estas pueden estar agrupadas.

Para ejemplificar el uso de el comando DSolve realizaremos dos ejemplos e iremos explicando cada paso detenidamente:

Ejemplo.- Encontrar una solución general para la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

\[ y'=y \]

Para ello debemos ingresar en Mathematica lo siguiente:

Debemos recordar que la ecuación \( y'=y \) se debe ingresar en Mathematica con un doble "=", el comando guardará en sol, el arreglo de soluciones para esta función, como puede verse solo tiene una solución general, la cual en realidad es una familia de funciones ya que existe una constante arbitraria \( C_{1} \) , para observar las curvas de integrales que componen esta familia de funciones utilizaremos el comando Table.

La sintaxis del comando Table es el siguiente:

• \( Table \left[ expr, \letf\{ i, i_{max} \right\} \rignt]

Entonces ingresamos lo siguiente:

Lo que significa que evaluaremos una función y[x] en la que meteremos el primer elemento contenido en sol (la solución de la ecuación diferencial) y a su vez le indicamos que el elemento a evaluar sera C[1] por lo cual a C[1] lo hacemos una variable k, la cual irá desde -10 a 10 en incrementos de 2. El resultado como puede verse es un arreglo de 11 funciones donde ya se ha evaluado el valor de la constante arbitraria C[1]. 

Para mostrar estas funciones utilizaremos el comando Plot pero antes deberemos evaluar la variable x dentro de cada  una de las 11 funciones por lo que a su vez utilizaremos el comando Evaluate, la sintaxis del comando Plot es la siguiente:

• \( Plot \left[ \left\{ f_{1}, f_{2}, \ldots \right\}, \left\{ x, x_{min}, x_{max} \right\} \right] \)

Donde el conjunto de funciones \( \left\{ f_{1}, f_{2}, \ldots \right\} \) será el resultado de la ejecución del comando Evaluate, posteriormente se coloca la variable a evaluar y el rango en el cual será evaluada en esta caso le hemos colocado de -5 a 5, finalmente para que la gráfica se despliegue en toda la pantalla agregamos ImageSize -> Full.

El resultado de colocar ejecutar esta linea es una gráfica como la que se muestra a continuación, la cual contiene un conjunto finito de curvas integrales.

Pero que sucede si conocemos una condición inicial, entonces encontraremos una ecuación particular que satisfaga la ecuación diferencial, por ejemplo si \( y \left[ 0  \right] = 0 \) los comandos cambian ligeramente. En específico en DSolve debemos agregar la condición inicial. Esto es:

Como se puede ver el resultado del comando DSolve es una función específica que satisface el sistema de ecuaciones planteado. Para mostrarlo simplemente evaluamos una función y[x] a la cual le meteremos el primer elemento del arreglo sol, el cual es la solución de la ecuación diferencial, y la variable a evaluar sera x la cual estará en un rango de -2 a 3, el resultado de esto es la siguiente gráfica.